![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image001-1.png)
【随处可见的物理】1. 单摆的周期到底是啥?
话说十六世纪的比萨的一天,跟我差不多年龄的伽利略在礼拜时摸鱼(摸鱼是真正的第一生产力呀),盯着教堂顶的大吊灯发呆。最开始工人不小心触动了吊灯,吊灯的摆动幅度很大,随着时间流逝,摆动幅度也就越来越小。可是,似乎无论摆动幅度是多大,吊灯来回摆动一次的时间都是相同的。于是伽利略兴奋地跑回家玩弄起了单摆。
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image001-1.png)
那我们也来玩弄一下吧。先画一个单摆,不妨研究它的摆动角度φ从φ0到-φ0这段半周期的过程。以φ减小的方向为正方向,请出牛顿老爷子说出他的第二定律:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image002.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image003.png)
其中 a=dv/dt, v=ωl, ω=dθ/dt, 代入得到:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image007.png)
这个方程我不会解(T.T, 貌似在高中的时候也是进行到这一步),不过回想一下高中的限定条件,在φ小于五度时近似公式
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image008.png)
才能用。这是作了sinφ=φ的近似处理得到的结果。在φ较小时用这样的近似可以把误差控制在很小的范围内,就比如在五度时:
5o=0.087266 rad
Sin5o=0.087155
二者相差仅0.01%,这种误差在低精度实验时绝对是可以忽略的。
这样取近似之后可以得到这样一个可以秒杀的常系数齐次方程:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image009.png)
特征方程显然为
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image010.png)
得到一对共轭复根:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image011.png)
得到:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image012-1.png)
这个式子有点烦,再用辅助角公式给他化简一下:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image013-2.png)
其中
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image014.png)
这简直和简谐运动表达式
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image015.png)
一模一样!其实我们在近似的过程中就已经默认这个运动是简谐的了。所以很容易能写出在这种情况下周期的表达式:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image016.png)
但是我们肯定不能就此收手,万一这个单摆不听话就要使劲往上摆怎么办?现在回过头去看看那个解不出来的烦人式子吧:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image009-1.png)
撞了南墙先回头,换种方式把这个式子重新写一遍好了:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image017-1.png)
是否有机会凑出可分离变量的方程呢?想到ω可以看作是自变量为φ的函数,那就再凑一下:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image018-1.png)
惊奇地发现
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image019-1.png)
居然把t 弄消失了!于是得到一个看着舒服多了的式子:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image020-1.png)
分离变量:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image021-1.png)
简单积个分:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image022-1.png)
因为有初始条件,这个C0是已知的:当φ=φ0时ω=0,代入可知:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image023-1.png)
解得
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image024.png)
代回,即:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image025.png)
由于在设定条件时认为φ一直减小,ω作为φ的变化率,应该非正,所以取:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image026.png)
再次将ω看作关于φ的函数,然后就可以分离变量了:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image027.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image028.png)
积分可得:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image029.png)
考虑在半周期内的摆动过程,可得:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image030-1.png)
再化简一下:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image031-1.png)
该式子为(*)式
到这里后,我的数学水平再一次阻止了我向下求解。但是我应该可以尝试去给出拟合的解。
考虑麦克劳林公式:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image032.png)
先尝试低精度的解,只保留两项,
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image003-1.png)
代回到(*)中得到:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image034.png)
由于φ介于正负φ0之间,可以令
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image035.png)
则,
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image036.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image037.png)
积分上下限分别变为半周期和0,则上式可以惊奇地化简为:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image038.png)
于是神奇地得到我们已经得到过的一个公式:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image016-1.png)
那我坚定这个思路,随着取麦克劳林展开式中项数的增多,值的拟合就会越准确。
现在取麦克劳林展开式中的三项:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image039-1.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image040.png)
到这里计算量已经开始飙升了,不过我还是耐下性子继续往下推了推:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image041.png)
后面那一大坨东西是肯定积不出来的,于是想到用二项式定理再度近似一下:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image042.png)
带上痛苦面具,开始往(*)里代入:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image043.png)
和刚才的方法一样,还是要用三角换元暴算:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image044.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image045.png)
这倒是没有想象中那么难解。后面剩一点繁琐的过程就省略了吧,直接写出在这种情况下的近似解:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image046.png)
我实在没有能力找出这种解的通项公式,不过查阅资料后发现这种解法其实不是什么新颖的方法,甚至真的能找到后面每一项的参数,只不过确实没找到这种解法的通项公式。
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image047.png)
这个参数长得实在太吓人了,我很庆幸没头铁去再往下硬算一位。
值得注意的一点时,当φ0的值趋近于0时,这个公式的结果显然接近
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image008-1.png)
在找资料的过程里,我也顺便把之前的预留问题解决了。再回顾一下(*),我的思路是尽可能拟合,但是它其实还能进一步往下求解:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image031-2.png)
由于求解过程包含了一些我尚未学习的知识,我只能尽可能尝试把继续的思路复述一遍,希望我掌握了其中的数学工具后可以独立求解。所以下文内容并非我独立完成,特别是收尾处的部分,我几乎只有复述的能力。
首先由升幂公式
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image049.png)
令:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image050.png)
考虑这样一个变换
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image051.png)
为了方便,记
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image052.png)
得到:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image053.png)
新的积分上限仍是半周期,即:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image054.png)
为了简化,再记:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image055.png)
现在(*)可以写作:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image056.png)
通过多项式展开的公式
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image057.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image058.png)
可以得到:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image059-1024x169.png)
所以
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image060-1024x87.png)
再由此公式:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image061.png)
因此
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image062.png)
可以得到
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image063.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image001-2-75x75.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2022/06/12e45bd68016a199ed0e312db9dc136-75x75.png)