【高数学习回顾】2.函数的连续性与间断点
TIPS: 在这篇小短文里，我不打算用非常严谨的方法来研究连续、可导，还有间断点。我想从更直观的角度阐述一下自己对连续和间断的想法，所以很可能不能做到证明的严密性。
首先我们看看函数的连续是怎么定义的：
若f(x0)在点x0的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数f(x0)在点x=x0处连续
怎么理解这个式子呢？基于定义本身直观来说，连续的函数就是：当自变量的变化足够小的时候，因变量的变化也足够小。如果自变量的某种微小的变化会导致因变量突然跳跃，或者无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数。连续性的最根本定义其实是基于拓扑学的，这里我没有能力给出更精确的定义了。
原始定义经过不复杂的变换，我们可以得到函数在x=x0处连续的一个充分必要条件：
现在我们考虑一下可导与连续的关系。我有一个可能不是太严谨的想法，甚至无法判断这种想法的对错，提供在这里供大家批评。
我们知道，可导的条件是：
存在并且有限，则称f(x)在x0处可导。
把导数公式两边同时乘以：
得到:
等式左边dy/dx为常量，乘以无穷小后得0。于是得到：
这就是连续的条件。所以可导是可以推出连续的。
至于连续不能推导出可导，是由于：不能保证
为0。
（比如当
是dx/dy的高阶无穷小时，或者dx/dy根本不存在时）。
另外一个想法是：可导意味着曲线在那一点是光滑的，这显然是相对连续的一个更强的条件，很可能意味着可导一定连续，连续不一定可导。
说到连续不一定可导时，一定会请出这位重量级函数：y=abs(x)
从上述的两种想法中看，这个函数是连续的，但是此时dx/dy根本不存在，函数也不是光滑的。这是一个非常经典的反例，以后要是忘了连续与可导的关系，就想一想这个优美的“V”。
现在轮到间断点了。从连续的反面思考什么是连续，可能也能加深对连续的理解。
有三种情形可能导致函数间断：
- 在x=x0没有定义
- 在x=x0有定义，但是x→x0时f(x)的极限不存在
- 虽然在x=x0有定义，而且x→x0时f(x)的极限存在，但是x→x0时f(x)的极限不等于f(x0)
根据这三个情况，我们可以把间断点分为两个大类四个小类：
- 第一类间断点：左右极限都存在。
- 可去间断点：
典型例子：
- 跳跃间断点：
但二者都存在。典型例子：（注：阶跃函数）
- 第二类间断点：左右极限至少有一边不存在或为无穷大。
- 无穷间断点：
或
典型例子：
- 震荡间断点：当x→x0时，函数值在某区间内变化无限多次，极限不存在。如：
这个分类清晰我自认为很清晰。
这样看来，判断连续和间断点并不是一件复杂的事情。在我刚开始学习高数时，判断连续系列的问题经常让我痛不欲生。不过等到稍稍往后学习后，这类问题已经再也难不倒我了！不过我很怀念，彼时彼刻，我用着最最基础的数学工具思考函数连续时的样子。
