![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image001-3.png)
【高数学习回顾】1.为什么要引入第一个重要极限
第一个重要极限:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image001-3.png)
有一天我的室友像发现了新大陆似的告诉我:书上证明这个极限的方法实在太复杂啦!直接请洛神帮忙一下不就轻轻松松解决了嘛。确实如此
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image002-4.png)
轻松解决!所以数学书是通篇废话!
不过想必编者对洛必达的熟悉程度大于我们(不至于想不到直接洛),于是我开始认真考虑这个问题。发现书上的证法是非常必要的。
先回顾一下书上内容吧:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image003-3.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image004-1.png)
即
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image005-1.png)
即
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image006-2.png)
不等号各边同时除以sinx,知:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image008-4.png)
我们应该知道
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image009-2.png)
,根据夹逼定理(这个就放个官方的证明好了):
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image010-3.png)
可以得到
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image011-3.png)
所以这么费时费力地证了半天,到底得到的这个东西有什么用?
这其实涉及到一个高中的遗留问题:sinx的导数是什么?(当然是cosx,来路清白,高中老师告诉我的)
我们用原始定义对cosx求个导:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image013-6.png)
令这个等式为(*)式
我能想到两种方式对他进行化简:
第一种:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image014-3.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image015-2.png)
这里化不动了,
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image016-4.png)
凭什么是1 ?洛它的话就陷入了循环论证的怪圈了。所以必须要通过某些手段得到它才行。我不死心地又换了一种方法求导:
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image018-4.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image019-3.png)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image020-3.png)
好吧还是躲不掉要知道
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image021-3.png)
所以我们可以郑重地给出第一个重要极限的意义:建立三角函数的微分体系。这个第一个重要极限它并没有它看上去那么蠢。
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/2221ff540e56eef1dab0b400a5e6dc0-75x75.jpg)
![](https://zhongcosmos.com/wp-content/uploads/2023/06/image045-75x75.jpg)