前文回顾：

我们已经证明了三大中值定理：由罗尔定理，到拉格朗日中值定理，最后到柯西中值定理：

以此我们可以正式踏入倒数应用这座大厦了：

领略风光：洛必达法则

“金钱买不来知识，但是可以买来定理”

关于这个法则有个小故事：这其实是伯努利（对，就是研究流体运动的那个伯努利）发现的。洛必达是一个爱好数学的贵族，重金求伯努利给他补习数学。当时正是微积分的初创期，于是洛必达提出要购买伯努利的研究成果，并整理成了一本书：《无穷小量分析》。他在前言中提到了绝大多数成果来自伯努利和莱布尼茨，而洛必达法则正是书中的重要内容之一，洛必达自然就冠名了这个定理。

我很想述说我对一下这段历史的看法。但不会在这篇短文中。所以下面就步入正题吧：

我们曾经讨论过这样一个式子：（参考往期文章《1. 为什么要引入第一个重要极限》）

在前文的小故事中，伯努利考虑的其中一个问题就是这样：两个无穷小量能不能相除呢？表述出来就是：

要讨论这一点，我们需要解决一个前文遗漏的问题。

铺好地板：闭区间连续，开区间可导

在《5.筑基导数应用的大厦：从费马引理和罗尔定理聊起》中，我说明了在三大中值定理中的遗留问题：

在闭区间[a,b]上连续

在开区间(a,b)上可导

我们再回顾一遍推导出这几个定理的过程。我们先证明了费马引理，通过费马引理证明了罗尔定理，通过罗尔定理证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。其实，这个条件就是为了费马引理和罗尔定理预备的：

罗尔定理的证明中用到了闭区间连续函数的一个非常重要的性质：存在最大值和最小值。需要闭区间连续是为了保证端点处可以取到。而在费马引理中，又要保证f(x)在x0处可导。我们考虑到那是除端点外任意一点，所以必须要保证开区间上是可导的。具体仍见《5.筑基导数应用的大厦：从费马引理和罗尔定理聊起》。

其实，在闭区间上可导是一个更强的条件，大多数情况下，规定在闭区间[a,b]上可导就可以应用三大中值定理了，但这个条件由于被增强了，面对一些不满足条件的个例时，可能仍可以应用中值定理。典型情况是：当端点是间断点时，可以举出很多情况，如：跳跃间断点，无穷间断点，震荡间断点…

在对应的区间上，这三者都是可以使用三个中值定理的。所以为了严谨，我们应该遵守使用中值定理的这两个条件：在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。

以讨论了这个为前提，我们可以开始思考这个问题了：

注意到f(x)与g(x)比值的极限与f(a)或g(a)无关，我们可以假定：

我们对待求式做个变形：

我们规定：在点a的去心邻域内f(x)和g(x)的导数都存在，这样就可以名正言顺地使用柯西中值定理了：

考虑到：

所以：

所以我们可以把待求式写为：

这就是著名的洛必达法则：

洛必达当时只考虑了x趋近于a这种情况。其实，当x趋近于无穷大时，洛必达法则仍然成立。

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